Fluttuazioni della flessione e stabilità strutturale di grafene nanoribbon (1)

  INTRODUZIONE

  L'interazione tra deformazioni del reticolo e dinamica degli elettroni è un ingrediente importante da prendere in considerazione per comprendere e controllare le proprietà elettroniche dei futuri dispositivi di grafene. Da un lato, un ceppo esternoapplicato al grafene produce un campo pseudomagnetico il cui effetto è stato inizialmente previsto teoricamente e quindi determinato sperimentalmente.2 Questo potrebbe essere il punto di partenza di un campo chiamato straintronics, ovvero il controllo delproprietà elettroniche applicando un ceppo meccanico. D'altra parte, la corrugazione intrinseca osservata fin dai primi esperimenti in campioni di grafene sospesi influenza la mobilità elettronica. Fluttuazioni su questa corrugazione,chiamati fononi flessurali, è stato proposto di essere la fonte del limite intrinseco nella mobilità elettronica3 e, certamente, il controllo di queste ondulazioni è un punto importante da affrontare.

  Quando la dimensionalità viene ridotta, le fluttuazioni di altezza vengono amplificate a causa della nota tendenza alle instabilità in dimensioni ridotte. Ci aspettiamo nastri spessi con geometria quasi unidimensionale per avere fluttuazioni termiche più forti disistemi bidimensionali. Queste fluttuazioni possono avere effetti importanti sul trasporto elettronico e il meccanismo dovrebbe essere identificato al fine di controllare e gestire le proprietà elettroniche dei nanotubi di grafene.

  L'obiettivo del presente lavoro è studiare le eccitazioni termiche in grafene nanoribbon. Prendiamo un modello continuo come punto di partenza, permettendoci di tenere conto dei fononi acustici a lunghezze d'onda. Il nostro obiettivo è capire comei modi vibrazionali sono influenzati dalle diverse condizioni al contorno e da come queste vibrazioni influenzano il caso piatto statico. Analizziamo questi punti calcolando i fononi flessori fuori piano e le funzioni di correlazione altezza-altezzaper due diverse situazioni: bordi bloccati e liberi.

  La conducibilità termica Phonon gioca un ruolo eccitante nella fisica dei grafeni. Le misurazioni4 mostrano che il grafene potrebbe essere uno dei migliori conduttori di calore mai conosciuti, con conduttività termica K fino a 5000 W / mK a temperatura ambiente incampioni sospesi. Questi risultati possono aprire nuove applicazioni per il controllo termico nella nanoelettronica. Inoltre, i valori sperimentali per K non sono coincidenti, 5 e non c'è accordo su quale tipo di fononi (in-piano o fuoripiano) producono il contributo dominante a K.6. Il nostro studio potrebbe far luce sul ruolo delle modalità di piegatura in grafene nanoribbon. Discuteremo questo punto nelle prossime sezioni.

Questo documento è organizzato come segue: In Sec. II introduciamo il modello hamiltoniano prendendo un limite continuo di una superficie legata con energia di flessione. Discutiamo anche su come le condizioni limite appropriate possano essere prese in considerazione.

  In sec. III presentiamo un formalismo generale basato su un percorso integrale per ottenere le funzioni di correlazione. In secondi. IV e V otteniamo lo spettro fononico fuori piano e le funzioni di correlazione, analizzandone le conseguenze. Finalmente,in Sec. VI diamo le nostre conclusioni e prospettive.

  IL MODELLO E LE CONDIZIONI ALIMENTARI

  Singolo e grafene a pochi strati sono sistemi di spessore su scala atomica. In quanto tale, una teoria elastica continua per lastre spesse non può essere utilizzata direttamente. Tuttavia, le loro proprietà meccaniche, la formazione di increspature e il fononespettro come base dell'interazione elettrone-fonone, sono ben descritti dalla forma di energia elastica di piastre spesse. La chiave per capire questo fatto è che la rigidità alla flessione nel grafene non deriva dalle compressioni edilatazioni del mezzo continuo delimitate da superfici libere. Pertanto, il parametro di rigidità alla flessione non può essere ottenuto dai parametri elastici del mezzo; invece, è una quantità indipendente.7 Si pensa che la piegaturala rigidità del grafene è dovuta ai termini dell'angolo di legame e del legame obbligato associati agli angoli diedri delle interazioni C-C sottostanti.8

  Questa distinzione ha un significato speciale in presenza di spigoli, come nel caso dei nastri che consideriamo in questo lavoro. Per rendere la discussione concreta, partiamo da una superficie tethered semplificata con energia di flessione, che haè stato introdotto negli studi sulle membrane.9 Il modello hamiltoniano èdove ni è il normale vettore unitario sul sito ith del reticolo e j è il suo vicino più vicino. Usiamo κ¯ come parametro di rigidità alla flessione nel modello reticolo.

  Fino ad ora non abbiamo specificato il dominio di integrazione e le condizioni al contorno fisiche per il nostro problema. Consideriamo un nastro lungo e stretto di larghezza W e lunghezza L che corre lungo la direzione y.

  Utilizzare condizioni al contorno periodiche nella direzione y. Pertanto, il termine di superficie corrispondente all'ultima riga di Eq. svanisce.

  Il primo termine è proporzionale al quadrato della curvatura media e l'ultimo alla curvatura gaussiana, entrambi scritti nell'approssimazione armonica. In termini di queste curvature, l'Eq. è conosciuto come la forma Helfrich della piegaturaenergia di una membrana liquida.

  I termini moltiplicando h (x = ± 2, y) e ∂xh (x = ± 2, y) possono essere interpretati come la forza e la coppia sul bordo del nastro. Impostare questi termini a zero significa avere bordi liberi, e le condizioni al contorno sono quindi la curvatura è atermine derivativo totale che è stato trascuratointegrazione su tutti i percorsi che soddisfano le condizioni al contorno (8) o (9).

È conveniente espandere il percorso in base alle autofunzioni dell'operatore O. A causa della condizione al contorno periodica nella direzione lunga, noipuò separare la sua dipendenza Le autofunzioni assumono la forma

FIGURA. 1. (Colore online) Curve di dispersione date dalle funzioni λ¯ (q¯) per il nastro fissato. Mostriamo i primi sette rami dello spettro che, di fatto, ne ha un numero infinito. Nel riquadro mostriamo uno zoom del bassospettro di energia per i primi due rami.

Dopo le approssimazioni. Il primo ramo di Fig. 1 può esseremisura da una funzione della forma λ¯ 0 (q¯) 二 / a0 + a1q¯2 + a2q¯ 4,con a0 = 500, a1 = 24 e a2 = 0,972. Se trascuriamo ildebole dipendenza delle autofunzioni su q¯m nell'eq. (16), la dipendenza y della correlazione è data dalla seguente trasformata di Fourier:

(H (X1, Y) H (x¯2,0))

= f 0 (x¯1) f 0 (x¯2)

FIGURA. 2. (Colore online) Quadrato delle autofunzioni normalizzate

m (x¯) per i primi tre rami dello spettro nel clampednastro. Questi calcoli sono fatti per q¯ = 6π.

  Le quantità Cn, come osservato alla fine di Sec, rappresentano le costanti di normalizzazione. I grafici per (f n (x¯)) 2 con n = 0, 1, 2 e q¯m = 6π sono mostrati in Fig. 2. Come sottolineato in Rif, c'è uno spazio nello spettro e la modalità di energia zeronon esiste per q¯m = 0. Questo è legato al fatto che le traduzioni globali non sono consentite perché il nastro è bloccato ai bordi. Il gap nel primo ramo si comporta come A ~ 22.3 (nelle unità originali) che si avvicina allo zerovalore per il foglio quadrato infinito. Ci aspettiamo che le correlazioni altezza-altezza in punti diversi decadano in modo esponenziale e questo è davvero il caso. In Fig. 3 mostriamo il valore di κ (h¯ (0,25, y¯) h¯ (0,25,0)) che corre lungo la direzione ye valutato numericamente dall'Eq. (16). Viene mostrato il contributo dei primi tre rami. Man mano che il divario aumenta, andiamo ai rami con maggiore energia, i contributi delle correlazioni corrispondenti diventano sempre più piccoli.

  Un rapido decadimento delle correlazioni è osservato a una distanza dell'ordine di W. In effetti, possiamo stimare la lunghezza della correlazione caratteristica con il

× [α sin (qR y¯) + β cos (qR y¯)], (22)

dove α = 0.00499, β = 0.00271 e qR + iqI = 2.273 + i4.185 è uno zero del denominatore di Eq. (21). Il decadimento della correlazione è chiaramente dominato dal termine esponenziale. La sua scala caratteristica, cioè la lunghezza di correlazione,è

ξ = W / 4.185 (nelle unità originali).

  Vediamo che è possibile controllare l'estensione della correlazione altezza-altezza cambiando la larghezza del nastro. Se associamo questa fluttuazione termica all'increspatura, questi risultati implicano che la dimensione caratteristica della regione increspata cresce linearmente con la larghezza dei nastri. In Fig. 4 mostriamo i valori di (h¯2 (x¯, y¯)) per i primi tre rami di Fig. 1. Il contributo dominante proveniente dal primo ramo produce una distorsione massima alcentro dei nastri. Gli altri rami producono distorsioni periodiche secondo la forma delle autofunzioni f n (x¯), come mostrato in Fig. 2. Il numerodei nodi è esattamente n + 2 compresi quelli ai bordi.

  Cerchiamo di discutere il possibile uso dei risultati precedenti per chiarire il contributo relativo dei fononi nel piano e della flessione sulla conduttività termica intrinseca del grafene. Il divario nello spettro phonon per i nastri premutiimplica che, in effetti, non esistono fononi acustici, il che porta a un forteriduzione di K. Tuttavia, come mostrato in Ref. 13, questo gap è in realtà molto piccolo per i valori realistici di W. Infatti, per W = 30 nm, il gap è AOP = 7,9 μeV. Come la simmetria della traduzione

FIGURA. 3. (Colore online) Altezza altezza κ (h¯ (0,25, y¯) h¯ (0,25,0))

correlazione in funzione della distanza nella direzione lunga, per il nastro bloccato. I contributi dei primi tre rami sono mostrati separatamente. La linea tratteggiata rappresenta l'approssimazione data dall'Eq. (22). La lunghezza dii nastri sono L = 1000 e la larghezza W = 100.

  FIGURA. 4. (Colore online) Quadrato medio dell'altezza κ (h¯ (x¯, y¯) 2) come una funzione su x¯, la distanza dal centro, per il nastro fissato.

  Mostriamo i contributi dei primi tre rami. La lunghezza dei nastri è L = 1000 e la larghezza W = 100. è rotta in tutte le direzioni, c'è anche uno spazio per i fononi nel piano. È stato stimato in Rif. 13 per essere AIP = 1meVper un nastro della stessa larghezza, molto più alto di AOP. Per temperature sufficientemente inferiori a RT ci aspettiamo che i fononi fuori piano siano eccitati ma non le corrispondenti modalità in-plane. Se le determinazioni future di K (T) sono bloccatei campioni mostrano una riduzione a bassa temperatura, potremmo concludere che questi fononi non sono abbastanza rilevanti per la conducibilità termica come affermato nei lavori precedenti.